用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的，有向线段的箭头所指的方向表示向量的2、叫做单位向量3、的向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做零向量与任一向量平行4、且的向量叫做相等向量5、叫做相反向量二、向量的表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法三、向量的加减法及其坐标运算四、实数与向量的乘积定义：实数 λ 与向量 的积是一个向量，记作λ五、平面向量基本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫基底六、向量共线/平行的充要条件七、非零向量垂直的充要条件八、线段的定比分点设是上的 两点，P是上_________的任意一点，则存在实数，使_______________，则为点P分有向线段所成的比，同时，称P为有向线段的定比分点定比分点坐标公式及向量式九、平面向量的数量积(1)设两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影(2)|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ(3)平面向量的数量积的坐标表示十、平移典例解读1、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b;②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c，则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，则a∥c其中，正确命题的序号是______2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=____3、若将向量a=(2，1)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b，则向量b的坐标为_____4、下列算式中不正确的是( )(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a5、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=( )、函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+17、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=08、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则 PQ=_________9、已知A(5,-1) B(-1,7) C(1,2)，求△ABC中∠A平分线长10、若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则a·b等于( )(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-111、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( )(A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|>|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直 (D)(a·b)·c-(b·c)·a=012、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/216、利用向量证明：△ABC中，M为BC的中点，则 AB2+AC2=2(AM2+MB2)17、在三角形ABC中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值18、已知△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量高中数学必修4备课教案（精选篇3）教学准备教学目标1、 知识与技能(1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义;(2)熟练掌握由 的图象得到函数 的图象的方法;(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质;(4)能解决一些综合性的问题
生6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称师：能说说是关于哪条直线对称吗生6：我还没找出来学生通过移动点A（点B、C随之移动）后发现，BC的中点M在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y＝x生7：y＝x3的图象及其反函数y＝的图象关于直线y＝x对称师：这个结论有一般性吗其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗请同学们用其他函数来试一试（学生纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称）教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数y＝x2（x∈R）没有反函数，也不是函数的图象
雷锋，对待同志像春天一样的温暖，对待工作像夏天一样的火热，对待个人主义象秋天扫落叶，对待敌人像严冬一样的残酷无情在他短短的22年的人生历程里，许许多多平凡而伟大的事迹熔入他火焰般的青春热情，编写了人生灿烂夺目的诗篇说起雷锋，我仿佛看到他生气勃勃耕耘在温暖的故乡，挥汗如雨奔忙在沸腾的钢都，向着腾空的烈火猛扑，把呼啸的洪水拦阻，我仿佛看到他在帮烈属大娘浇地，在给人民公社割谷，在给新盖的学校添砖，在水库工地上挑土，深夜里，他悄悄起床给同志缝补衣裤，清晨，他热情地送老大爷赶车，灯下，他耐心地教小学生做算术……他忙碌的身影留下一串串闪光的足迹他用一颗滚烫的爱心温暖着身边的每一个人“雷锋”的光辉形象深深地印入我们的脑海，雷锋的精神激励着我们前进
2011年3月，马宁作为第四官员执法蒙古队与菲律宾队的比赛，第一次执法国际赛事2016年首次执法亚足联冠军联赛，2018年进入亚足联精英裁判班，精英班是培养未来世界杯裁判的预备队自此，马宁完成了从“中国裁判”到“国际裁判”的身份转换2022年，他入选卡塔尔世界杯裁判名单，担任多场比赛的第四官员2024年，他成为首位主哨亚洲杯决赛的中国裁判到了2026年，他再次进入世界杯裁判名单从成为国际级裁判，到获得世界杯主裁判资格，这条路，他走了十五年看完了这些，是不是觉得马宁走的路好像无比顺畅并非如此，要入选国际级裁判非常不容易根据国际足联发布的《FIFA Refereeing Tests 2020》体能测试手册，所有国际级裁判每年必须通过两项强制性测试
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